土豆不吃鱼

之前在浅说熵中介绍过熵这个概念，自我感觉说得不够清晰明了，决定再来谈谈熵，以及熵在实际生活中的应用。熵最初是物理学中的概念，用于描述一个系统的混乱程度，越是无序的系统，熵越大；在没有外部能量输入的情况下，系统的演化方向是朝着熵增加的方向。

信息量

在信息学中，香浓(Shannon)借用了这个概念，引入了信息熵，用来描述接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量。这里出现了 信息量 这个概念，信息量（也称为自信息）就是事件发生的概率再取负对数，信息量 $I=-\log_a p$，其中底数$a$为2，信息量的单位是比特（bit），$a$为$\mathrm e$信息量的单位为奈特（nat）。

这是因为信息论的基本想法是一个不太可能的事件居然发生了，要比一个非常可能的事件发生，能提供更多的信息。也就是概率越小的事件发生了，提供的信息量更大，越有价值。比如事件“太阳从东边升起，西边下落”，发生的概率几乎就是1，其信息量为0，一个确定发生的事情，不包含任何信息。对于投掷硬币来说，事件“正面朝上的概率”，这个事件发生的概率为1/2，信息量为$-\log_2 \frac 1 2=1$个比特；假定彩票中特等奖的概率为百万分之一，这个事件发生的所带来的信息量为$-\log_2 \frac 1 {10^6}=19.93$.

信息熵

一个系统中会包含多个事件，用随机变量来描述，就是系统中随机变量取值有多个。例如投掷6面体的骰子，随机变量的取值为$X=1,2,3,4,5,6$，如果骰子是均匀的，则随机变量对应的概率为$p(X=x_i) = \frac 1 6$，变量取每个值对应的信息量为$I(X=x_i) = -\log_2 \frac 1 6 = 2.58$，这个系统包含6个事件，平均信息量就是信息熵为$H(X) = \sum_{i=1}^6 p(X=x_i)I(X=x_i) = 2.58$

熵是信息量的平均值，用概率来描述其计算公式为：

$H(X) = \mathbb E[I(X)]= -\sum_i^N p_i \log p_i$

对于连续的概率分布把求和换成积分就可以了。

抛硬币的例子

抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为$p$，反面朝上的概率为$1-p$.信息熵为

$H(p) = -p\log p - (1-p)\log(1-p)$

熵最大的时候，正面朝上的概率等于反面朝上的概率等于1/2.也就意味着在没有别的约束条件下，意味着正面出现的概率与反面出现的概率是等价的，熵最大的情况必然对应着正面朝上的概率等于1/2；如果这枚硬币不均匀（有约束条件），如何估计这枚硬币正面朝上的概率呢？这里就需要极大似然估计了，根据样本出现的概率最大化，来估计概率p。先占个坑，下一篇文章接着说。

一篇文章的信息熵

一篇中文文章由若干字组成，有些字会重复出现，每个字出现的概率不同，由此我们可以计算这篇文章的信息熵。如果我们假定一篇文章的价值就是信息熵，我们就可以用熵来衡量文章的价值了。假如这篇文章只有一个字组成的，那么这篇文章信息熵为0，也就是平均信息量0比特，毫无价值。

如果一篇文章用词丰富，那么这篇文章的熵就会很大，其价值也很大。极端情况下，每个字都不重复，达到最大熵。当然这种衡量手段是比较粗略的。因为如果知道这样衡量文章价值的算法以后，很容易凑出“高质量”的文章，因此文章的信息熵可以作为衡量文章价值的一个特征。

总结

本文主要介绍了两个概念，信息量和信息熵。一个事件发生的概率越低，这个事件发生以后其信息量越大；而信息熵则是衡量系统的平均信息量。